в правильной четырехугольной пирамиде sabcd все ребра равны 1 точка E середина ребра SC.Найдите угол между прямыми а)AD и BE Б)AB И SD

Задача интересная, давайте разберём её шаг за шагом.

Условия задачи:

• У нас есть правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где все рёбра пирамиды равны 1. Пирамида имеет основание, представляющее собой квадрат $ABCD$, и вершину $S$, находящуюся над центром этого квадрата.
• Точка $E$ — середина рёбра $SC$.
• Необходимо найти угол между прямыми:
  1. $AD$ и $BE$,
  2. $AB$ и $SD$.

1. Построение и расположение точек в пространстве

Предположим, что основание квадрата $ABCD$ находится в плоскости $z = 0$, и его вершины можно задать координатами:

• $A(0, 0, 0)$,
• $B(1, 0, 0)$,
• $C(1, 1, 0)$,
• $D(0, 1, 0)$.

Теперь, поскольку все рёбра пирамиды равны 1, вершина пирамиды $S$ будет располагаться прямо над центром квадрата. Центр квадрата — это точка $O(0.5, 0.5, 0)$, и вершина $S$ будет находиться на прямой, перпендикулярной плоскости основания, на расстоянии 1 от плоскости. Таким образом, координаты вершины пирамиды $S$ будут:

• $S(0.5, 0.5, 1)$.

Точка $E$ — середина рёбра $SC$. Мы знаем координаты точек $S(0.5, 0.5, 1)$ и $C(1, 1, 0)$. Тогда координаты точки $E$ можно найти как среднее арифметическое координат этих двух точек:

2. Угол между прямыми $AD$ и $BE$

Найдем угол между прямыми $AD$ и $BE$.

Прямая $AD$ проходит через точки $A(0, 0, 0)$ и $D(0, 1, 0)$. Вектор, направленный вдоль этой прямой, можно записать как:

Прямая $BE$ проходит через точки $B(1, 0, 0)$ и $E(0.75, 0.75, 0.5)$. Вектор, направленный вдоль этой прямой:

Теперь, чтобы найти угол между этими двумя прямыми, нужно вычислить скалярное произведение их направляющих векторов и применить формулу для угла между векторами:

Сначала вычислим скалярное произведение:

Теперь найдём длины векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BE}$: