В правильной четырехугольной пирамиде SABCD высота SO равна 9,диагогаль основания BD равна 8.Точки K и М - середины ребер СD и ВC соответственно.Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания АВС.

Для решения задачи рассмотрим четырехугольную пирамиду $SABCD$, где $SO$ – высота пирамиды, $O$ – центр основания $ABCD$, диагональ основания $BD$ равна $8$, а $K$ и $M$ – середины ребер $CD$ и $BC$ соответственно.

1. Определим длину стороны основания $ABCD$:

Поскольку $ABCD$ – правильный четырехугольник, его диагонали равны и пересекаются под прямым углом в центре $O$. Диагональ $BD = 8$, поэтому из геометрии квадрата следует, что стороны основания равны:

2. Найдем координаты точки $O$ и точки $S$:

Выберем систему координат, где точка $O$ находится в начале координат, так как это центр основания. Тогда точка $S$ (вершина пирамиды) будет находиться на высоте $SO = 9$ над точкой $O$, то есть имеет координаты $S(0, 0, 9)$.

3. Найдем координаты точек $B$, $C$, $K$ и $M$:

Расположим основание так, чтобы его вершины имели координаты:

• $B\left(4, 4, 0\right)$,
• $C\left(-4, 4, 0\right)$,
• $D\left(-4, -4, 0\right)$,
• $A\left(4, -4, 0\right)$.

Теперь:

• Точка $M$ – середина отрезка $BC$, ее координаты:

  $$M\left(\frac{4 + (-4)}{2}, \frac{4 + 4}{2}, 0\right) = (0, 4, 0).$$

• Точка $K$ – середина отрезка $CD$, ее координаты:

  $$K\left(\frac{-4 + (-4)}{2}, \frac{4 + (-4)}{2}, 0\right) = (-4, 0, 0).$$

4. Определим векторы $SM$ и $MK$:

• Вектор $SM = M - S = (0 - 0, 4 - 0, 0 - 9) = (0, 4, -9)$,
• Вектор $MK = K - M = (-4 - 0, 0 - 4, 0 - 0) = (-4, -4, 0)$.

5. Найдем вектор нормали плоскости $SMK$:

Для этого используем векторное произведение $SM \times MK$:

Вычислив определитель, получим:

6. Найдем тангенс угла между плоскостью $SMK$ и плоскостью основания $ABCD$:

Плоскость основания $ABCD$ параллельна $XOY$ и имеет нормальный вектор $n = (0, 0, 1)$.

Обозначим угол между плоскостями через $\alpha$. Косинус угла между плоскостями можно найти через скалярное произведение векторов нормалей: