ОснованияBC иAD трапецииABCD равны 3 и 8 соответственно. Боковые стороны продолжены до пересечения в точкеК. Найдите высотуКН треугольникаADK , если высота трапеции равна 4.

Для решения этой задачи разберем геометрическую ситуацию. У нас есть трапеция $ABCD$ с основаниями $BC = 3$ и $AD = 8$, высота которой равна $h = 4$. Боковые стороны $AB$ и $CD$ продолжаются до их пересечения в точке $K$. Нам нужно найти высоту $KN$ треугольника $ADK$.

План решения:

1. Расположение точек на плоскости:

   • Разместим трапецию так, чтобы основание $AD$ находилось на оси $x$, а её высота была вертикальной.
   • Пусть точка $A = (0, 0)$, точка $D = (8, 0)$, точка $B = (x_B, 4)$, и точка $C = (x_C, 4)$, где $x_C - x_B = 3$ из условия, так как $BC = 3$.

2. Найдем координаты $B$ и $C$:

   • Средняя линия трапеции проходит на высоте $y = 4/2 = 2$ и имеет длину $(BC + AD)/2 = (3 + 8)/2 = 5.5$.
   • Поэтому $B = (x_B, 4)$, $C = (x_B + 3, 4)$, и положение $x_B$ выбирается так, чтобы средняя линия делила основания пропорционально.

3. Уравнения сторон $AB$ и $CD$:

   • Уравнение прямой $AB$: через точки $A(0, 0)$ и $B(x_B, 4)$. Угловой коэффициент: $k_{AB} = \frac{4 - 0}{x_B - 0} = \frac{4}{x_B}$. Уравнение: $y = \frac{4}{x_B}x$.
   • Уравнение прямой $CD$: через точки $C(x_B + 3, 4)$ и $D(8, 0)$. Угловой коэффициент: $k_{CD} = \frac{0 - 4}{8 - (x_B + 3)} = \frac{-4}{8 - x_B - 3} = \frac{-4}{5 - x_B}$. Уравнение: $y = \frac{-4}{5 - x_B}(x - (x_B + 3)) + 4$.

4. Найдем точку пересечения $K$:

   • Приравняем уравнения $y = \frac{4}{x_B}x$ и $y = \frac{-4}{5 - x_B}(x - x_B - 3) + 4$.
   • Решаем это уравнение для $x$, затем подставляем $x$ в одно из уравнений, чтобы найти координаты $K(x_K, y_K)$.

5. Высота $KN$ треугольника $ADK$:

   • Основание треугольника $AD$ лежит на оси $x$ ($y = 0$).
   • Высота $KN$ определяется как расстояние от точки $K(x_K, y_K)$ до прямой $AD$