Диагональ осевого сечения цилиндра, равная \(4\sqrt{2}\), образует с плоскостью основания угол \(45^\circ\). Найти боковую поверхность цилиндра.

Для того чтобы найти боковую поверхность цилиндра, нужно использовать информацию, которую мы знаем. У нас есть диагональ осевого сечения, равная $4\sqrt{2}$, которая образует угол $45^\circ$ с плоскостью основания.

Шаг 1. Определим радиус основания цилиндра

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольный треугольник, где одна из сторон является высотой цилиндра $h$, а другая — диаметром основания $2r$. Диагональ этого сечения (гипотенуза) равна $4\sqrt{2}$.

Согласно теореме Пифагора, диагональ осевого сечения будет вычисляться как:

Зная, что диагональ $d = 4\sqrt{2}$, получаем:

Теперь у нас есть уравнение (1):

Шаг 2. Используем угол $45^\circ$

Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания равен $45^\circ$. Этот угол можно связать с отношением высоты цилиндра $h$ и радиуса основания $r$ с помощью тангенса угла. Для прямоугольного треугольника тангенс угла $45^\circ$ равен:

Поскольку $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:

Отсюда выражаем $h$:

Шаг 3. Подставляем в уравнение

Теперь подставим $h = 2r$ в уравнение (1):

Шаг 4. Находим высоту цилиндра

Поскольку $h = 2r$, то:

Шаг 5. Рассчитываем боковую поверхность

Боковая поверхность цилиндра вычисляется по формуле:

Подставляем $r = 2$ и $h = 4$:

Таким образом, боковая поверхность цилиндра равна $16\pi$.