Основания трапеции равны 5 см и 8 см. Боковые стороны , равные 3,6 см и 3,9 см , продолжены до пересечения в точке М. Найдите расстояния от точки М до концов меньшего основания.

Для решения задачи найдем расстояния от точки $M$ до концов меньшего основания $AB$ трапеции. Пусть основание $AB = 5 \, \text{см}$, основание $CD = 8 \, \text{см}$, боковые стороны $AD = 3.6 \, \text{см}$ и $BC = 3.9 \, \text{см}$.

Шаги решения:

1. Обозначим точки и найдем пересечение сторон: Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ — вершины трапеции, где $AB$ и $CD$ — основания. Продолжим боковые стороны $AD$ и $BC$ до их пересечения в точке $M$.

2. Теорема о пропорциональности сегментов: Для трапеции известно, что точка пересечения продолжений боковых сторон делит отрезки оснований в одинаковой пропорции. Если $x$ и $y$ — расстояния от точки $M$ до концов меньшего основания $A$ и $B$, то:

   $$\frac{x}{y} = \frac{AD}{BC}.$$

   Подставим значения:

   $$\frac{x}{y} = \frac{3.6}{3.9} = \frac{36}{39} = \frac{12}{13}.$$

3. Соотношение длин отрезков: Из свойства трапеции сумма отрезков от $M$ до концов основания равна длине меньшего основания. То есть:

   $$x + y = AB = 5.$$

4. Система уравнений: У нас есть две зависимости:

   $$\frac{x}{y} = \frac{12}{13}, \quad x + y = 5.$$

   Решим их. Из первой зависимости выразим $x$ через $y$:

   $$x = \frac{12}{13}y.$$

   Подставим это во второе уравнение:

   $$\frac{12}{13}y + y = 5.$$

   Приведем к общему знаменателю:

   $$\frac{12y + 13y}{13} = 5.$$ $$\frac{25y}{13} = 5.$$

   Умножим обе части на 13:

   $$25y = 65.$$ $$y = \frac{65}{25} = 2.6.$$

   Теперь найдем $x$:

   $$x = \frac{12}{13}y = \frac{12}{13} \cdot 2.6 = 2.4.$$

5. Ответ: Расстояния от точки $M$ до концов меньшего основания:

   $$x = 2.4 \, \text{см}, \quad y = 2.6 \, \text{см}.$$