Две стороны треугольника равны 3 и 5. Известно, что окружность, проходящая через середины этих сторон и их общую вершину, касается третьей стороны треугольника. Найдите третью сторону.

Задача интересная и требует использования свойств окружностей и треугольников.

Решение:

1. Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$, где $a = 3$ и $b = 5$. Третью сторону обозначим как $c$, которую мы и должны найти.

2. Рассмотрим окружность, которая проходит через середины сторон $a = 3$ и $b = 5$, а также через общую вершину этих сторон. Это окружность, которая называется окружностью средней линии. Данный факт подсказывает, что треугольник является треугольником с вписанной окружностью, которая касается третьей стороны.

3. У окружности есть интересное свойство: её центр лежит на линии, соединяющей середины сторон $a$ и $b$. Таким образом, касание этой окружности третьей стороны имеет важное значение.

4. Рассмотрим длину третьей стороны $c$, которая является общим основанием для всех вычислений.

После применения формул касания окружности с третьей стороной, можно будет вычислить длину c .