Решить уравнение x³ - 4x² - 9x + 36 = 0

Для решения уравнения $x^3 - 4x^2 - 9x + 36 = 0$ можно использовать метод подбора корней и дальнейшее разложение на множители.

1. Пробуем подставить возможные значения для корней.
   Начнем с проверки целых чисел. В качестве возможных кандидатов на корни попробуем числа, которые являются делителями свободного члена (в данном случае 36). Это могут быть $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$.

2. Пробуем x = 2:
   Подставляем $x = 2$ в уравнение:

   $$2^3 - 4 \cdot 2^2 - 9 \cdot 2 + 36 = 8 - 16 - 18 + 36 = 0.$$

   Видим, что $x = 2$ является корнем уравнения.

3. Разделяем многочлен на множители.
   Теперь, зная, что $x = 2$ является корнем, можно разделить многочлен на $(x - 2)$. Для этого используем деление многочлена на $(x - 2)$.

   Разделим $x^3 - 4x^2 - 9x + 36$ на $x - 2$ с помощью деления многочленов (или схемы Горнера).

   Деление дает:

   $$x^3 - 4x^2 - 9x + 36 = (x - 2)(x^2 - 2x - 18).$$

4. Решаем квадратное уравнение.
   Теперь нужно решить квадратное уравнение $x^2 - 2x - 18 = 0$. Для этого используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18)}}{2 \cdot 1}.$$

   Вычислим:

   $$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 72}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{76}}{2}.$$ $$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{19}}{2} = 1 \pm \sqrt{19}.$$

   Таким образом, корни квадратного уравнения — $x = 1 + \sqrt{19}$ и $x = 1 - \sqrt{19}$.

5. Ответ.
   Все корни уравнения $x^3 - 4x^2 - 9x + 36 = 0$:

   $$x = 2, \quad x = 1 + \sqrt{19}, \quad x = 1 - \sqrt{19}.$$