Уравнение 4^х-2*2^х-8=0

Уравнение 4^x - 2 * 2^x - 8 = 0 можно решить следующим образом.

1. Перепишем 4^x как степень с основанием 2:
   Мы знаем, что 4 = 2^2, следовательно, 4^x = (2^2)^x = 2^(2x).

   Тогда уравнение примет вид:

   $$2^{2x} - 2 \cdot 2^x - 8 = 0.$$

2. Подставим новую переменную:
   Пусть y = 2^x. Тогда 2^{2x} = (2^x)^2 = y^2. Подставляем это в уравнение:

   $$y^2 - 2y - 8 = 0.$$

3. Решаем квадратное уравнение:
   Теперь у нас обычное квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}.$$

   Упростим:

   $$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}.$$

   Таким образом, у нас два корня:

   $$y_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2.$$

4. Возвращаемся к переменной x:
   Мы знаем, что y = 2^x. Теперь подставим найденные значения y:

   • Для y = 4: 2^x = 4, и так как 4 = 2^2, то x = 2.

   • Для y = -2: 2^x не может быть отрицательным, так как 2^x всегда положительно для любых x. Следовательно, это решение отвергается.

5. Ответ:
   Единственное решение уравнения 4^x - 2 * 2^x - 8 = 0 — это x = 2.