Найти наименьшее значение в области определения функции y=8+2x-x^2(всё под корнем)

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = \sqrt{8 + 2x - x^2}$, нужно учитывать несколько важных аспектов.

1. Область определения функции: Для того чтобы выражение под корнем было положительным или хотя бы нулевым (так как корень из отрицательных чисел в действительных числах не существует), необходимо, чтобы $8 + 2x - x^2 \geq 0$. Это неравенство задает область определения функции.

   Преобразуем неравенство:

   $$8 + 2x - x^2 \geq 0$$

   Перепишем его в стандартной форме:

   $$-x^2 + 2x + 8 \geq 0$$

   Умножим на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента при $x^2$:

   $$x^2 - 2x - 8 \leq 0$$

   Это квадратичное неравенство, его нужно решить. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$ с помощью дискриминанта:

   $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

   Таким образом, корни уравнения:

   $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2$$

   Теперь, чтобы решить неравенство $x^2 - 2x - 8 \leq 0$, мы знаем, что оно выполняется в интервале между этими корнями:

   $$-2 \leq x \leq 4$$

   Это и есть область определения функции: $x \in [-2, 4]$.

2. Нахождение наименьшего значения функции: Теперь нам нужно найти наименьшее значение функции $y = \sqrt{8 + 2x - x^2}$ на отрезке $x \in [-2, 4]$.

   Для этого рассмотрим поведение функции. Чтобы понять, на каком из концов отрезка или внутри его функция принимает наименьшее значение, нужно найти производную функции и исследовать её.

   Функция $y(x) = \sqrt{8 + 2x - x^2}$ является сложной, но можно применить стандартные методы для нахождения экстремумов.

   Однако проще всего заметить, что наименьшее значение функции $y = \sqrt{8 + 2x - x^2}$ будет в точке, где выражение под корнем минимально. Это происходит на концах интервала, то есть в точках $x = -2$ и $x = 4$.

3. Вычисление значений функции в концах интервала:

   • Для $x = -2$:

   $$y = \sqrt{8 + 2(-2) - (-2)^2} = \sqrt{8 - 4 - 4} = \sqrt{0} = 0$$

   • Для $x = 4$:

   $$y = \sqrt{8 + 2(4) - 4^2} = \sqrt{8 + 8 - 16} = \sqrt{0} = 0$$

   Таким образом, на обоих концах интервала $x = -2$ и $x = 4$ функция принимает значение 0.

Следовательно, наименьшее значение функции $y = \sqrt{8 + 2x - x^2}$ на интервале $x \in [-2, 4]$