найдите наибольшее значение функции y = x⁵ - 5x³ - 20x на отрезке [-6; 1]

Для нахождения наибольшего значения функции $y = x^5 - 5x^3 - 20x$ на отрезке $[-6; 1]$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции: Для поиска критических точек нужно вычислить первую производную функции.

   $$y' = \frac{d}{dx}(x^5 - 5x^3 - 20x) = 5x^4 - 15x^2 - 20$$

2. Найти критические точки: Чтобы найти критические точки, приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение.

   $$5x^4 - 15x^2 - 20 = 0$$

   Разделим все члены на 5:

   $$x^4 - 3x^2 - 4 = 0$$

   Это уравнение можно решить подстановкой $z = x^2$, получим:

   $$z^2 - 3z - 4 = 0$$

   Решаем это квадратное уравнение с помощью формулы:

   $$z = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}$$ $$z = \frac{3 \pm 5}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$z = 4 \quad \text{или} \quad z = -1$$

   Так как $z = x^2$, то $z = -1$ не имеет решения для действительных чисел. Таким образом, $x^2 = 4$, что дает два решения:

   $$x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2$$

3. Проверка значений функции на критических точках и концах отрезка: Теперь нужно вычислить значения функции в критических точках $x = 2$ и $x = -2$, а также на концах отрезка $x = -6$ и $x = 1$.

   • Для $x = -6$:

   $$y(-6) = (-6)^5 - 5(-6)^3 - 20(-6) = -7776 + 1080 + 120 = -6576$$

   • Для $x = 1$:

   $$y(1) = (1)^5 - 5(1)^3 - 20(1) = 1 - 5 - 20 = -24$$

   • Для $x = -2$:

   $$y(-2) = (-2)^5 - 5(-2)^3 - 20(-2) = -32 + 40 + 40 = 48$$

   • Для $x = 2$:

   $$y(2) = (2)^5 - 5(2)^3 - 20(2) = 32 - 40 - 40 = -48$$

4. Результат: Наибольшее значение функции на отрезке $[-6; 1]$ достигается при $x = -2$, и оно равно 48.