Решите неравенство: 3/(x+1) ≤ 5/(x+2)

Для того чтобы решить неравенство $\frac{3}{x+1} \leq \frac{5}{x+2}$, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1. Привести к общему знаменателю

Для начала упростим неравенство. Переносим все члены в одну часть неравенства:

Чтобы выполнить вычитание дробей, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $x+1$ и $x+2$ — это произведение $(x+1)(x+2)$. Приводим дроби к общему знаменателю:

Теперь можем вычесть числители:

Шаг 2. Упростить числитель

Упростим числитель:

Таким образом, неравенство превращается в:

Шаг 3. Определим области знаков

Теперь решим неравенство $\frac{-2x + 1}{(x+1)(x+2)} \leq 0$. Для этого нужно определить, когда числитель и знаменатель этого выражения меняют знак.

• Числитель: $-2x + 1 = 0$ при $x = \frac{1}{2}$.

• Знаменатель: $(x+1)(x+2) = 0$ при $x = -1$ и $x = -2$.

Теперь определим знаки на интервалах, которые получаем от корней числителя и знаменателя: $(-\infty, -2)$, $(-2, -1)$, $(-1, \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}, +\infty)$.

Шаг 4. Исследование знаков

Мы исследуем знак дроби на каждом из интервалов:

1. На интервале $(-\infty, -2)$:

   • Числитель $-2x + 1$ положителен.

   • Знаменатель $(x+1)(x+2)$ положителен.

   • Дробь положительна.

2. На интервале $(-2, -1)$:

   • Числитель $-2x + 1$ положителен.

   • Знаменатель $(x+1)(x+2)$ отрицателен.

   • Дробь отрицательна.

3. На интервале $(-1, \frac{1}{2})$:

   • Числитель $-2x + 1$ положителен.

   • Знаменатель $(x+1)(x+2)$ положителен.

   • Дробь положительна.

4. На интервале $(\frac{1}{2}, +\infty)$:

   • Числитель $-2x + 1$ отрицателен.

   • Знаменатель $(x+1)(x+2)$ положителен.

   • Дробь отрицательна.

Шаг 5. Вывод

Нам нужно, чтобы дробь была меньше либо равна нулю, т.е. отрицательной или равной нулю. Это выполняется на интервалах:

• $(-2, -1)$ и $(\frac{1}{2}, +\infty)$.

Также учитываем, что $x = -1$ и $x = -2$ — это точки, в которых выражение не определено, поскольку знаменатель обращается в ноль.

Таким образом, решение неравенства: