Решить систему уравнения x^{2} y^{2}-xy=12 X+y= 2

Дана система уравнений:

1. $x^2 y^2 - xy = 12$

2. $x + y = 2$

Для решения этой системы начнем с того, что из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 2 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение:

$x^2 (2 - x)^2 - x(2 - x) = 12$

Раскроем скобки и упростим:

1. Раскроем квадрат:

   $$(2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$x^2 (4 - 4x + x^2) - x(2 - x) = 12$$

2. Раскроем обе части:

   $$x^2(4 - 4x + x^2) = 4x^2 - 4x^3 + x^4$$ $$- x(2 - x) = -2x + x^2$$

   Подставим это в уравнение:

   $$4x^2 - 4x^3 + x^4 - 2x + x^2 = 12$$

3. Соберем все члены на одной стороне:

   $$x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x = 12$$ $$x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 2x - 12 = 0$$

Теперь нужно решить это уравнение. Чтобы найти возможные значения $x$, можно применить метод подбора или использовать численные методы, например, метод Ньютона, или попробовать подставить простые значения для $x$.

Попробуем подставить значения $x$ поочередно.

1. Подставим $x = 1$:

   $$1^4 - 4 \cdot 1^3 + 5 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 - 12 = 1 - 4 + 5 - 2 - 12 = -12$$

   Это не равно нулю, следовательно, $x = 1$ — не решение.

2. Подставим $x = 2$:

   $$2^4 - 4 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 - 12 = 16 - 32 + 20 - 4 - 12 = -12$$

   Это также не равно нулю, следовательно, $x = 2$ — не решение.

3. Подставим $x = -1$:

   $$(-1)^4 - 4 \cdot (-1)^3 + 5 \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 12 = 1 + 4 + 5 + 2 - 12 = 0$$

   Это равно нулю, значит, $x = -1$ — одно из решений.

Теперь, зная, что $x = -1$, подставим это значение в уравнение $x + y = 2$:

Таким образом, одно из решений системы — это $x = -1$ и $y = 3$.

Проверим, является ли это решением первого уравнения. Подставим $x = -1$ и $y = 3$ в уравнение $x^2 y^2 - xy = 12$: