Учитель запланировал проверить две домашние работы из шести на текущей неделе. Эти две работы он выбирает случайным образом и за невыполнение домашней работы ставит в журнал отметку "1". Определите вероятность события "Катя получит хотя бы одну "1", если она не выполнит одну домашнюю работу из этих шести.

Чтобы решить эту задачу, полезно подумать об этом в терминах вероятности выбора Катиной домашней работы для проверки, и как это связано с вероятностью получения ей "1".

Сначала рассмотрим общее количество возможных способов, которыми учитель может выбрать 2 домашние работы из 6 для проверки. Это классическая задача комбинаторики, где нам нужно вычислить количество сочетаний из 6 по 2, что обозначается как $C(6, 2)$. Формула для вычисления сочетаний из $n$ по $k$ следующая:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n!$ обозначает факториал числа $n$, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Теперь давайте вычислим общее количество способов выбора:

$C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

Таким образом, существует 15 возможных способов, которыми учитель может выбрать 2 домашние работы из 6.

Теперь давайте подумаем о ситуации, когда Катя не выполнила одну домашнюю работу. Вероятность того, что именно эта домашняя работа будет выбрана для проверки, зависит от того, сколько есть способов выбрать 1 невыполненную работу плюс еще одну из оставшихся пяти. Таким образом, нам нужно вычислить количество сочетаний из 5 по 1 (так как одна работа уже выбрана тем, что она не выполнена), что равно 5 (поскольку выбор одной работы из пяти равносилен количеству этих работ).

Таким образом, вероятность того, что невыполненная домашняя работа будет проверена (и Катя получит "1"), равна количеству способов, которыми это может произойти (5), деленному на общее количество способов выбора двух работ для проверки (15):

$P = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

Таким образом, вероятность того, что Катя получит хотя бы одну "1" за невыполненную домашнюю работу, составляет $\frac{1}{3}$ или примерно 33.33%.