Докажите теорему: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство теоремы о том, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой, можно провести шаг за шагом.

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = AC$, и биссектриса $BD$, проведённая к основанию $AC$.

1. Биссектриса делит угол пополам

Так как $BD$ — это биссектриса, то она делит угол $\angle ABC$ пополам, то есть $\angle ABD = \angle DBC$.

2. Свойства медианы

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. То есть, чтобы доказать, что $BD$ является медианой, нужно показать, что точка $D$ является серединой основания $AC$.

Для этого рассмотрим два треугольника: $ABD$ и $CBD$. Эти треугольники имеют следующие общие элементы:

• $AB = AC$ (по условию, треугольник равнобедренный),

• $\angle ABD = \angle DBC$ (так как $BD$ — биссектриса),

• $BD$ общая сторона.

Таким образом, по признаку равенства треугольников по двум углам и одной стороне (признак равенства по углам и стороне), треугольники $ABD$ и $CBD$ равны. Из этого следует, что $AD = DC$, то есть $D$ — середина основания $AC$. Это доказывает, что $BD$ является медианой.

3. Свойства высоты

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону. Чтобы доказать, что $BD$ является высотой, нужно показать, что $BD$ перпендикулярна $AC$.

Поскольку треугольники $ABD$ и $CBD$ равны, то и углы при основании $\angle ABD$ и $\angle DBC$ равны. Однако из свойств равнобедренного треугольника известно, что биссектриса, проведённая к основанию, всегда перпендикулярна этому основанию. Это значит, что $\angle ABD = \angle DBC = 90^\circ$, и, следовательно, $BD$ перпендикулярна $AC$, а значит является высотой.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является одновременно медианой и высотой.