Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, если основания равны 3 и 6.

Для того чтобы найти радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, можно использовать следующую теорему: радиус окружности, вписанной в трапецию, равен разности полусуммы оснований и высоты, делённой на два. Трапеция имеет пару параллельных сторон (основания), а также два боковых элемента.

Шаги решения:

1. Обозначим:

   • $a = 6$ (длинное основание),

   • $b = 3$ (короткое основание),

   • $h$ — высота трапеции,

   • $r$ — радиус вписанной окружности.

2. Для трапеции с вписанной окружностью справедливо следующее соотношение:

   $$r = \frac{h}{2}$$

   где $h$ — высота трапеции. Но для нахождения $h$ необходимо воспользоваться дополнительными свойствами трапеции.

3. В прямоугольной трапеции, если она имеет вписанную окружность, то сумма длин противоположных сторон (оснований и боковых сторон) равна. То есть:

   $$a + b = 2c$$

   где $c$ — длина боковой стороны. Подставляем известные значения:

   $$6 + 3 = 2c \Rightarrow c = \frac{9}{2} = 4.5$$

4. Теперь, зная длину боковой стороны, можем найти высоту трапеции. Используем теорему Пифагора для треугольника, образованного боковой стороной, высотой и разностью между основаниями:

   $$h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2}$$

   Подставляем известные значения:

   $$h = \sqrt{(4.5)^2 - \left(\frac{6 - 3}{2}\right)^2} = \sqrt{20.25 - 2.25} = \sqrt{18} \approx 4.24$$

5. Наконец, радиус окружности $r$ равен:

   $$r = \frac{h}{2} \approx \frac{4.24}{2} = 2.12$$

Таким образом, радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен примерно 2.12.