Найдите область определения: а)log 3(x-4) б)log 0,1 (x^2-25) в)lg 2x-3/x+7

Чтобы найти область определения данных логарифмических функций, нужно помнить, что логарифм существует только для положительных чисел, то есть его аргумент должен быть строго больше нуля. Рассмотрим каждое выражение:

а) log₃(x-4)

Здесь аргумент логарифма – выражение $x - 4$. Для того чтобы логарифм был определен, необходимо, чтобы:

Решая неравенство, получаем:

Таким образом, область определения функции $log₃(x-4)$ – все значения $x$, такие что $x > 4$.

б) log₀,1(x² - 25)

Здесь основание логарифма равно 0,1, что является положительным числом, но меньше 1. Это важный момент, так как при таких основаниях логарифм определён, когда аргумент больше 0 (для положительных оснований логарифм существует при аргументе больше нуля, но для оснований меньше 1 есть ещё условие, что аргумент должен быть положительным). Аргумент логарифма – выражение $x² - 25$. Чтобы логарифм был определён, нужно:

Решая это неравенство:

Это неравенство выполняется, когда $x < -5$ или $x > 5$. Таким образом, область определения функции $log₀,1(x² - 25)$ – $x < -5$ или $x > 5$.

в) lg $\frac{2x-3}{x+7}$

Здесь аргумент логарифма – выражение $\frac{2x-3}{x+7}$. Чтобы логарифм был определён, необходимо, чтобы этот аргумент был строго положительным:

Для того чтобы решить это неравенство, нужно найти, при каких значениях $x$ дробь будет положительной. Для этого рассмотрим знаки числителя и знаменателя:

• $2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$

• $x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$

Точки $x = -7$ и $x = \frac{3}{2}$ разделяют числовую прямую на три промежутка: $(-\infty, -7)$, $(-7, \frac{3}{2})$, $(\frac{3}{2}, +\infty)$. Нужно проверить, при каких из этих промежутков дробь положительна.

• В интервале $(-\infty, -7)$ дробь положительна.

• В интервале $(-7, \frac{3}{2})$ дробь отрицательна.

• В интервале $(\frac{3}{2}, +\infty)$ дробь положительна.

Таким образом, область определения функции $lg \frac{2x-3}{x+7}$ – $x < -7$ или $x > \frac{3}{2}$.