1. Вычислить: а) log(1/2)16; б) 5 в степени 1+log(5)3; в) log(3)135 - log(3)20 + 2log(3)2. 2. Сравнить числа: log(1/2)3/4 и log(1/2)4/5. ( ) - основание, / - дробная черта.

1. Вычислим:

а) $\log_{16} \left( \frac{1}{2} \right)$

Для того чтобы решить этот логарифм, нужно использовать свойство логарифмов:

где $b$ — основание логарифма, а $c$ — новое основание. В данном случае преобразуем логарифм с основанием 16 в логарифм с основанием 2, так как 16 — это степень двойки:

$\log_2 \left( \frac{1}{2} \right) = -1$, так как $2^{-1} = \frac{1}{2}$, а $\log_2 16 = 4$, так как $16 = 2^4$. Таким образом:

б) $5^{1 + \log_5 3}$

Используем свойство логарифмов $\log_b a = x \Rightarrow b^x = a$, то есть $\log_5 3$ — это такой показатель степени для основания 5, чтобы получить 3. В данном случае:

в) $\log_3 135 - \log_3 20 + 2 \log_3 2$

Используем свойства логарифмов:

1. $\log_b a - \log_b c = \log_b \left( \frac{a}{c} \right)$,

2. $k \log_b a = \log_b a^k$.

Применим эти свойства:

Теперь добавим $2 \log_3 2$, что по свойству будет $\log_3 2^2 = \log_3 4$:

Так как $27 = 3^3$, то:

2. Сравним числа: