Упростите выражения: а) \(5x^2*(-3x^3)^2\) б) \((2x-1)^2+(2x+1)(2x-1)\)

Упрощение выражений:

а) $5x^2 * (-3x^3)^2$

1. Начнём с раскрытия степени во втором множителе. Мы видим, что степень применяется ко всему выражению внутри скобок. Поэтому:

   $$(-3x^3)^2 = (-3)^2 \cdot (x^3)^2 = 9 \cdot x^6 = 9x^6$$

2. Теперь подставим это в исходное выражение:

   $$5x^2 \cdot 9x^6 = 45x^{2+6} = 45x^8$$

Итак, упрощённый вид выражения: $45x^8$.

б) $(2x-1)^2 + (2x+1)(2x-1)$

1. Начнём с раскрытия квадратного бинома $(2x-1)^2$:

   $$(2x-1)^2 = (2x-1)(2x-1) = 4x^2 - 4x + 1$$

2. Теперь раскроем скобки во втором выражении $(2x+1)(2x-1)$ с помощью формулы разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

   $$(2x+1)(2x-1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$$

3. Подставим оба выражения в исходное:

   $$(4x^2 - 4x + 1) + (4x^2 - 1) = 4x^2 - 4x + 1 + 4x^2 - 1$$

4. Теперь объединим подобные члены:

   $$4x^2 + 4x^2 - 4x + 1 - 1 = 8x^2 - 4x$$

Итак, упрощённое выражение: $8x^2 - 4x$.