1. Вычислите cos 22,5° (полное решение). 2. Решите уравнение sin3x = sin5x.

1. Вычисление cos 22,5°:

Для нахождения значения $\cos 22,5^\circ$, можно использовать половинный угол. Формула для косинуса половинного угла выглядит следующим образом:

Пусть $\alpha = 45^\circ$, тогда $\frac{\alpha}{2} = 22,5^\circ$. Используя эту формулу, мы можем вычислить:

Значение $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставляем это в формулу:

Упростим выражение:

Таким образом, значение $\cos 22,5^\circ$ можно оставить в виде этого выражения или вычислить приближенно. Приближенное значение будет:

2. Решение уравнения $\sin 3x = \sin 5x$:

Для решения уравнения $\sin 3x = \sin 5x$, воспользуемся основным тождеством тригонометрии:

Подставим $A = 3x$ и $B = 5x$:

1. $3x = 5x + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

   $$3x - 5x = 2k\pi \quad \Rightarrow \quad -2x = 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = -k\pi$$

2. $3x = \pi - 5x + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

   $$3x + 5x = \pi + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad 8x = \pi + 2k\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi + 2k\pi}{8}$$

Таким образом, решение уравнения $\sin 3x = \sin 5x$ состоит из двух видов решений:

1. $x = -k\pi$, где $k$ — целое число.

2. $x = \frac{\pi(1 + 2k)}{8}$