Найти наибольшее значение функции \( y = (x - 27)e^{28 - x} \) на отрезке \([23;40]\).

Для нахождения наибольшего значения функции $y = (x - 27)e^{28 - x}$ на отрезке $[23;40]$, нам нужно сначала найти производную функции, затем найти критические точки, а затем проверить значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции.

Функция состоит из произведения двух функций: $f(x) = x - 27$ и $g(x) = e^{28 - x}$. Применим правило дифференцирования произведения:

• Производная от $f(x) = x - 27$ равна $f'(x) = 1$.

• Производная от $g(x) = e^{28 - x}$ по цепному правилу равна $g'(x) = -e^{28 - x}$.

Таким образом, производная функции $y(x)$ будет:

Упростим выражение внутри скобок:

2. Найдем критические точки.

Критические точки возникают, когда производная равна нулю или не существует. Для этого приравняем производную к нулю:

Так как экспоненциальная функция $e^{28 - x}$ всегда положительна, то уравнение равняется нулю, когда $28 - x = 0$, то есть:

Таким образом, есть одна критическая точка $x = 28$.

3. Проверим значения функции на концах отрезка и в критической точке.

Теперь нужно вычислить значения функции $y = (x - 27)e^{28 - x}$ на концах отрезка и в критической точке $x = 28$.

• Когда $x = 23$:

• Когда $x = 28$:

• Когда $x = 40$:

Значение $e^{-12}$ очень маленькое, так что $y(40)$ будет крайне малым числом, близким к нулю.

4. Сравнение значений.

Из вычисленных значений:

• $y(23) = -4e^5$, что является отрицательным значением,

• $y(28) = 1$,

• $y(40)$ — очень малое положительное число.

Наибольшее значение функции на отрезке $[23;40]$ достигается в точке $x = 28$, и оно равно $1$.