8^x - 3*4^x - 2^x + 3 = 0. Укажите все корни, принадлежащие отрезку (1,5; 3).

Решим уравнение

1. Замена переменной

Пусть $t = 2^{x}\;(t>0)$.
Тогда

Подставляем:

2. Факторизация кубического многочлена

Выносим общий множитель по группам:

Дальше

поэтому

Корни уравнения для $t$:

Поскольку $t=2^{x}>0$, отрицательный корень $t=-1$ отвергается.

3. Возврат к переменной $x$

• $t=1 \;\Rightarrow\; 2^{x}=1 \;\Rightarrow\; x=0$ — не попадает в интервал $(1{,}5;3)$.

• $t=3 \;\Rightarrow\; 2^{x}=3 \;\Rightarrow\; x=\log_{2}3$.

Численно

4. Проверка принадлежности интервалу

следовательно, $x=\log_{2}3$ действительно лежит в $(1{,}5;3)$.

5. Ответ

Единственный корень, принадлежащий отрезку $(1{,}5;3)$: