Упростите выражение (a+1/2a):(a^2-1/4a^2)

Для упрощения выражения $(a + \frac{1}{2a}) : (a^2 - \frac{1}{4a^2})$ давайте шаг за шагом рассмотрим обе части.

1. Числитель:
   Числитель выражения — это $a + \frac{1}{2a}$. Чтобы сложить эти два слагаемых, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $2a$. Таким образом:

   $$a = \frac{2a^2}{2a}, \quad \frac{1}{2a} = \frac{1}{2a}$$

   Складываем:

   $$a + \frac{1}{2a} = \frac{2a^2}{2a} + \frac{1}{2a} = \frac{2a^2 + 1}{2a}$$

2. Знаменатель:
   Знаменатель выражения — это $a^2 - \frac{1}{4a^2}$. Чтобы привести к общему знаменателю, снова используем $4a^2$ в качестве общего знаменателя:

   $$a^2 = \frac{4a^4}{4a^2}, \quad \frac{1}{4a^2} = \frac{1}{4a^2}$$

   Складываем:

   $$a^2 - \frac{1}{4a^2} = \frac{4a^4}{4a^2} - \frac{1}{4a^2} = \frac{4a^4 - 1}{4a^2}$$

3. Деление дробей:
   Теперь выражение принимает вид:

   $$\frac{2a^2 + 1}{2a} : \frac{4a^4 - 1}{4a^2}$$

   При делении дробей, мы умножаем первую дробь на обратную вторую:

   $$\frac{2a^2 + 1}{2a} \times \frac{4a^2}{4a^4 - 1}$$

   Умножаем числители и знаменатели:

   $$\frac{(2a^2 + 1) \times 4a^2}{2a \times (4a^4 - 1)}$$

   Упростим числитель и знаменатель:

   Числитель: $(2a^2 + 1) \times 4a^2 = 4a^2(2a^2 + 1)$

   Знаменатель: $2a \times (4a^4 - 1) = 2a(4a^4 - 1)$

   Получаем:

   $$\frac{4a^2(2a^2 + 1)}{2a(4a^4 - 1)}$$

4. Упрощение:
   Мы можем сократить на 2a:

   $$\frac{2a(2a^2 + 1)}{4a^4 - 1}$$

Итак, упрощённое выражение будет: