Решите уравнение sin²(x) = 1/2

Для решения уравнения $\sin^2(x) = \frac{1}{2}$, начнём с того, что извлечём квадратный корень из обеих сторон уравнения:

Теперь нужно найти все значения $x$, для которых $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

1. Когда $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:
   Это значение синуса достигается при углах $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$ в пределах одного полного оборота, то есть на интервале $[0, 2\pi]$. Период синуса — $2\pi$, поэтому все решения для $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ можно записать как:

   $$x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

2. Когда $\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:
   Это значение синуса достигается при углах $\frac{5\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$ на интервале $[0, 2\pi]$. Таким образом, все решения для $\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ можно записать как:

   $$x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, полное решение уравнения $\sin^2(x) = \frac{1}{2}$ — это: