Решите неравенство 2x^2-5x/x-3 меньше либо равно x ( / дробная черта)

Для того чтобы решить неравенство $\frac{2x^2 - 5x}{x - 3} \leq x$, давайте пройдем пошагово.

1. Перепишем неравенство:

   $$\frac{2x^2 - 5x}{x - 3} \leq x$$

2. Переносим все в одну сторону:

   Чтобы избавиться от дроби, перемещаем $x$ на левую сторону, получаем:

   $$\frac{2x^2 - 5x}{x - 3} - x \leq 0$$

   Для того чтобы привести к общему знаменателю, представим $x$ как дробь с тем же знаменателем $x - 3$:

   $$\frac{2x^2 - 5x}{x - 3} - \frac{x(x - 3)}{x - 3} \leq 0$$

3. Приводим к общему знаменателю:

   Теперь, приведя дроби к общему знаменателю, получаем:

   $$\frac{2x^2 - 5x - x(x - 3)}{x - 3} \leq 0$$

4. Упрощаем числитель:

   Раскроем скобки в числителе:

   $$2x^2 - 5x - x(x - 3) = 2x^2 - 5x - x^2 + 3x = x^2 - 2x$$

   Таким образом, неравенство теперь выглядит так:

   $$\frac{x^2 - 2x}{x - 3} \leq 0$$

5. Решаем неравенство:

   Теперь нам нужно решить неравенство $\frac{x^2 - 2x}{x - 3} \leq 0$. Для этого:

   • Найдем нули числителя и знаменателя.

     Числитель $x^2 - 2x$ равен нулю, когда $x(x - 2) = 0$, т.е. $x = 0$ или $x = 2$.

     Знаменатель $x - 3$ равен нулю, когда $x = 3$. Это значение необходимо исключить, так как в нем дробь не определена.

   Таким образом, критические точки: $x = 0$, $x = 2$, и $x = 3$.

6. Анализируем знаки дроби:

   Для того чтобы понять, при каких значениях $x$ дробь $\frac{x^2 - 2x}{x - 3}$ меньше или равна нулю, разобьем числовую прямую на интервалы, которые образуют критические точки: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$, $(2, 3)$, и $(3, +\infty)$.

   Рассмотрим знаки на каждом из этих интервалов.

   • На интервале $(-\infty, 0)$, например, для $x = -1$: числитель $(-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$, знаменатель $-1 - 3 = -4$, дробь положительная.

   • На интервале $(0, 2)$, например, для $x = 1$: числитель $1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$, знаменатель $1 - 3 = -2$, дробь положительная.

   • На интервале $(2, 3)$, например, для $x = 2.5$: числитель $(2.5)^2 - 2(2.5) = 6.25 - 5 = 1.25$, знаменатель $2.5 - 3 = -0.5$, дробь отрицательная.

   • На интервале $(3, +\infty)$, например, для $x = 4$: числитель $4^2 - 2(4) = 16 - 8 = 8$, знаменатель $4 - 3 = 1$, дробь положительная.

7. Итоги:

   Неравенство $\frac{x^2 - 2x}{x - 3} \leq 0$ выполняется на интервалах, где дробь либо равна нулю, либо отрицательна:

   • Дробь равна нулю при $x = 0$ и $x = 2$