4sin²x = tgx. Найдите все корни, принадлежащие промежутку [π; 0].

Для того чтобы решить уравнение $4\sin^2(x) = \tan(x)$, давайте сначала преобразуем его, чтобы получить более удобное выражение для нахождения корней.

1. Используем тригонометрические тождества. Напомним, что $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Подставим это в исходное уравнение:

2. Умножим обе части уравнения на $\cos(x)$, чтобы избавиться от дроби. Мы получим:

3. Переносим все в одну сторону. Получаем:

4. Вынесем $\sin(x)$ за скобки:

Теперь у нас два случая:

1. $\sin(x) = 0$

$\sin(x) = 0$ при $x = n\pi$, где $n$ — целое число. В промежутке $[0; \pi]$ корни будут $x = 0$ и $x = \pi$.

2. $4\sin(x)\cos(x) - 1 = 0$

Для второго случая решим уравнение:

Используем тождество $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, чтобы упростить уравнение:

Решаем уравнение $\sin(2x) = \frac{1}{2}$. Оно имеет решения:

где $k$ — целое число. Делим обе стороны на 2:

Теперь ищем корни в промежутке $[0; \pi]$. Для этого подставляем значения $k$:

• Для $x = \frac{\pi}{12} + k\pi$ при $k = 0$ получаем $x = \frac{\pi}{12}$.

• Для $x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$ при $k = 0$ получаем $x = \frac{5\pi}{12}$.

Итоговые корни:

Корни уравнения на интервале $[0; \pi]$ следующие: $x = 0, \pi, \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}$.