Решите неравенство: \(2^{x-1} + 2^{x+3} > 17\)

Для решения неравенства $2^{x-1} + 2^{x+3} > 17$, начнем с того, что у нас есть два выражения с разными степенями двойки. Попробуем привести их к общему виду.

1. Перепишем первое и второе слагаемое, используя свойства степеней:

   $$2^{x-1} = \frac{2^x}{2} \quad \text{и} \quad 2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^x.$$

   Таким образом, неравенство становится:

   $$\frac{2^x}{2} + 8 \cdot 2^x > 17.$$

2. Приведем обе части неравенства к общему виду, выражая все слагаемые через $2^x$:

   $$\frac{2^x}{2} + 8 \cdot 2^x = 2^x \left( \frac{1}{2} + 8 \right) = 2^x \cdot 8.5.$$

   Тогда неравенство примет вид:

   $$2^x \cdot 8.5 > 17.$$

3. Теперь разделим обе части неравенства на 8.5:

   $$2^x > \frac{17}{8.5} = 2.$$

4. Мы знаем, что $2^x > 2$ означает $x > 1$, так как $2^x$ растет экспоненциально.

Ответ: $x > 1$.