Решите уравнение х/2х-3=4/х

Для решения уравнения $\frac{x}{2x - 3} = \frac{4}{x}$, начнем с того, что нужно избавиться от дробей.

1. Умножим обе стороны уравнения на $x(2x - 3)$, чтобы избавиться от знаменателей:

   $$x(2x - 3) \cdot \frac{x}{2x - 3} = x(2x - 3) \cdot \frac{4}{x}$$

   В результате сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе:

   $$x^2 = 4(2x - 3)$$

2. Раскроем скобки на правой стороне:

   $$x^2 = 8x - 12$$

3. Переносим все выражения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

   $$x^2 - 8x + 12 = 0$$

4. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант считается по формуле:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   В нашем случае $a = 1$, $b = -8$, $c = 12$:

   $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$$

5. Так как дискриминант положительный, у нас два решения. Найдем их с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения $b = -8$, $D = 16$, $a = 1$:

   $$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 4}{2}$$

6. Получаем два корня:

   $$x = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$x = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

7. Проверим, не являются ли эти решения запрещёнными. Запрещённые значения для $x$ — это те, которые делают знаменатели равными нулю. Знаменатели в исходном уравнении — это $2x - 3$ и $x$. Проверим:

   • Для $x = 6$: $2 \cdot 6 - 3 = 12 - 3 = 9$ (не равно нулю), $x = 6$ подходит.

   • Для $x = 2$: $2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$ (не равно нулю), $x = 2$ тоже подходит.

Таким образом, оба значения $x = 6$ и $x = 2$ являются решениями уравнения. Ответ: $x = 6$ и $x = 2$.