Найдите корни уравнения (5y + 1)/(y + 1) = (y + 2)/y

Чтобы решить уравнение $\frac{5y + 1}{y + 1} = \frac{y + 2}{y}$, нужно выполнить несколько шагов:

1. Умножим обе стороны на произведение знаменателей. В данном случае знаменатели — это $y + 1$ и $y$. Умножим обе части уравнения на $(y + 1) \cdot y$, чтобы избавиться от дробей:

   $$(y + 1) \cdot y \cdot \frac{5y + 1}{y + 1} = (y + 1) \cdot y \cdot \frac{y + 2}{y}$$

   После умножения у нас останется:

   $$y(5y + 1) = (y + 1)(y + 2)$$

2. Раскроем скобки. Сначала раскроем обе стороны уравнения:

   $$y(5y + 1) = 5y^2 + y$$ $$(y + 1)(y + 2) = y^2 + 3y + 2$$

3. Перепишем уравнение:

   $$5y^2 + y = y^2 + 3y + 2$$

4. Переносим все элементы на одну сторону. Вычитаем $y^2 + 3y + 2$ с обеих сторон:

   $$5y^2 + y - y^2 - 3y - 2 = 0$$

   Упростим выражение:

   $$4y^2 - 2y - 2 = 0$$

5. Разделим на 2. Чтобы упростить уравнение, разделим его на 2:

   $$2y^2 - y - 1 = 0$$

6. Решаем квадратное уравнение. Для решения уравнения $2y^2 - y - 1 = 0$ применим формулу для решения квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   В нашем случае $a = 2$, $b = -1$, $c = -1$. Подставляем эти значения в формулу:

   $$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)}$$ $$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$$ $$y = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}$$ $$y = \frac{1 \pm 3}{4}$$

7. Находим корни. Из этого выражения получаем два возможных значения для $y$:

   $$y_1 = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ $$y_2 = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

8. Проверка корней. Поскольку у нас в исходном уравнении присутствуют дроби, важно убедиться, что найденные корни не делают знаменатели равными нулю. Для $y = 1$ знаменатели $(y + 1)$ и $y$