Решите уравнение (x²-1)²+(x²-6x-7)²=0

Для решения уравнения $(x^2 - 1)^2 + (x^2 - 6x - 7)^2 = 0$, начнем с анализа каждого из слагаемых.

1. У нас есть сумма двух квадратов: $(x^2 - 1)^2$ и $(x^2 - 6x - 7)^2$. Известно, что квадрат любого числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Это означает, что для того, чтобы сумма этих двух квадратов равнялась нулю, оба квадрата должны быть равны нулю одновременно.

2. Рассмотрим первый квадрат: $(x^2 - 1)^2 = 0$. Чтобы это было верно, необходимо, чтобы $x^2 - 1 = 0$, то есть:

   $$x^2 = 1.$$

   Решение этого уравнения: $x = 1$ или $x = -1$.

3. Теперь рассмотрим второй квадрат: $(x^2 - 6x - 7)^2 = 0$. Чтобы это было верно, нужно, чтобы $x^2 - 6x - 7 = 0$. Решим это квадратное уравнение:

   $$x^2 - 6x - 7 = 0.$$

   Для решения используем формулу дискриминанта:

   $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64.$$

   Корни уравнения:

   $$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 8}{2}.$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$x = \frac{6 + 8}{2} = 7 \quad \text{или} \quad x = \frac{6 - 8}{2} = -1.$$

4. Теперь нужно объединить все решения. Мы нашли два возможных значения для первого квадрата: $x = 1$ или $x = -1$, и два возможных значения для второго квадрата: $x = 7$ или $x = -1$.

5. Единственное значение, которое удовлетворяет обоим уравнениям (и для первого, и для второго квадрата), это $x = -1$.

Таким образом, решение уравнения $(x^2 - 1)^2 + (x^2 - 6x - 7)^2 = 0$ — это $x = -1$.