Решите уравнение sin²2x = 1/2

Для решения уравнения $\sin^2(2x) = \frac{1}{2}$ выполним следующие шаги:

1. Извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

   У нас есть $\sin^2(2x) = \frac{1}{2}$, и чтобы избавиться от квадрата, нужно взять корень с обеих сторон:

   $$\sin(2x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Теперь у нас два возможных случая для синуса: $\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Решаем для каждого из случаев:

   • Если $\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, и синус повторяет это значение с периодом $2\pi$. То есть:

     $$2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

     Упростим:

     $$2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$$

     Разделим обе части на 2:

     $$x = \frac{\pi}{8} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{8} + k\pi$$

   • Если $\sin(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то мы знаем, что $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, и синус также повторяет это значение с периодом $2\pi$. То есть:

     $$2x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \pi - \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$$

     Упростим:

     $$2x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$$

     Разделим обе части на 2:

     $$x = \frac{3\pi}{8} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{8} + k\pi$$

3. Объединяем все решения:

   Мы получаем два выражения для $x$:

   $$x = \frac{\pi}{8} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{8} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

   Это и есть общее решение уравнения $\sin^2(2x) = \frac{1}{2}$