Найдите максимальную скорость движения точки, если её путь задан уравнением: S = -10t³ + 15t² + 2t.

Для нахождения максимальной скорости движения точки, заданной уравнением пути $S(t) = -10t^3 + 15t^2 + 2t$, необходимо найти скорость, которая является производной пути по времени $t$, а затем найти её максимальное значение.

Шаг 1: Найдем выражение для скорости

Скорость — это производная пути по времени $t$. Для этого продифференцируем уравнение пути $S(t)$:

Выполнив дифференцирование, получим:

Шаг 2: Найдем критические точки

Чтобы найти моменты времени, когда скорость может быть максимальной или минимальной, нужно решить уравнение, где производная скорости (ускорение) равна нулю. Для этого найдем производную от скорости $v(t)$:

Теперь приравняем ускорение к нулю, чтобы найти критические точки:

Решаем это уравнение:

Шаг 3: Анализируем значение скорости в критической точке

Теперь подставим $t = 0.5$ в выражение для скорости $v(t)$, чтобы найти её значение в этот момент времени:

Итак, скорость в момент времени $t = 0.5$ равна 9.5 единиц в секунду.

Шаг 4: Проверка на максимальность

Для того чтобы убедиться, что это максимальная скорость, можно проанализировать знак второй производной. Вторая производная скорости $a(t) = -60t + 30$ при $t = 0.5$ равна:

Этот анализ не дает однозначного ответа, поэтому для окончательной уверенности нужно проанализировать поведение функции скорости на других интервалах времени или рассматривать физические ограничения задачи. Однако, для данной функции критическая точка $t = 0.5$ действительно даёт наибольшее значение скорости в области определения функции.

Ответ: Максимальная скорость точки равна 9.5 единиц в секунду, и она достигается в момент времени $t = 0.5$.