Решите неравенства: 1) (x ^ 2 + 5x)(x ^ 2 - 16) >= 0 2) (x - 2) ^ 2 * (x ^ 2 - 4x + 3) >= 0

Решение неравенства 1: $(x^2 + 5x)(x^2 - 16) \geq 0$

Для решения этого неравенства разобьём выражение на два множителя: $(x^2 + 5x)$ и $(x^2 - 16)$.

1. Первый множитель: $x^2 + 5x$ можно вынести за скобки:

   $$x^2 + 5x = x(x + 5)$$

   Таким образом, первый множитель равен $x(x + 5)$.

2. Второй множитель: $x^2 - 16$ — это разность квадратов:

   $$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$$

Теперь неравенство примет вид:

Для нахождения решений, определим точки, где каждый множитель равен нулю:

• $x = 0$ (из первого множителя),

• $x = -5$ (из первого множителя),

• $x = 4$ (из второго множителя),

• $x = -4$ (из второго множителя).

Теперь нужно рассматривать знак выражения на промежутках, определённых этими точками. У нас есть 5 промежутков: $(-\infty, -5)$, $(-5, -4)$, $(-4, 0)$, $(0, 4)$, $(4, +\infty)$.

Проведём тестирование знаков для каждого промежутка:

• На промежутке $(-\infty, -5)$: все множители отрицательны, значит, произведение будет положительным.

• На промежутке $(-5, -4)$: $x + 5$ положительно, остальные множители отрицательны, значит, произведение отрицательно.

• На промежутке $(-4, 0)$: $x - 4$ и $x + 4$ отрицательны, остальные положительные, произведение положительно.

• На промежутке $(0, 4)$: все множители положительные, произведение положительно.

• На промежутке $(4, +\infty)$: все множители положительные, произведение положительно.

Не забываем, что для знака неравенства важно включать те точки, где выражение равно нулю. Таким образом, решениями будут все точки, где произведение равно нулю, а также промежутки с положительным произведением.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [-4, 0] \cup [4, +\infty)$

Решение неравенства 2: $(x - 2)^2 (x^2 - 4x + 3) \geq 0$

Рассмотрим это неравенство.

1. Первый множитель: $(x - 2)^2$. Это квадрат, который всегда больше или равно нулю для всех значений $x$. То есть $(x - 2)^2 \geq 0$ для всех $x$.

2. Второй множитель: $x^2 - 4x + 3$ можно разложить на множители:

   $$x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$$

   Теперь неравенство примет вид:

   $$(x - 2)^2 (x - 1)(x - 3) \geq 0$$

Поскольку $(x - 2)^2 \geq 0$, неравенство будет выполняться тогда, когда второй множитель $(x - 1)(x - 3) \geq 0$.

Рассмотрим второй множитель $(x - 1)(x - 3)$. Определим точки, где этот множитель равен нулю:

• $x = 1$,

• $x = 3$.

Рассмотрим знак множителя на промежутках, определённых этими точками: $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$, и $(3, +\infty)$.

Проведём тестирование знаков для каждого промежутка:

• На промежутке $(-\infty, 1)$: оба множителя $x - 1$ и $x - 3$ отрицательны, значит, произведение положительное.

• На промежутке $(1, 3)$: $x - 1$ положительный, $x - 3$ отрицательный, значит, произведение отрицательное.

• На промежутке $(3, +\infty)$: оба множителя положительные, произведение положительное.

Не забываем, что $(x - 2)^2$ всегда неотрицательно, так что решение для этого неравенства будет включать:

• $x = 1$ и $x = 3$ (где множитель равен нулю),

• промежутки, где произведение положительное: $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$.