Решите систему x^2+y^2=29 xy=10

Ответы на вопрос

Отвечает Соколов Коля.

Для того чтобы решить систему уравнений

x^2 + y^2 = 29 \quad \text{и} \quad xy = 10,

можно воспользоваться методом подстановки или преобразования системы. Рассмотрим следующее решение:

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.

Из первого уравнения известно, что $x^2 + y^2 = 29$ , а из второго $xy = 10$ . Подставим эти значения в формулу для квадрата суммы:

(x + y)^2 = 29 + 2 \cdot 10 = 29 + 20 = 49.

Таким образом, мы получаем:

(x + y)^2 = 49.

x + y = \pm 7.

Теперь у нас есть два возможных случая: $x + y = 7$ или $x + y = -7$ .

Первый случай: $x + y = 7$ .

Теперь у нас есть система:

x + y = 7,

xy = 10.

Это система с двумя переменными, которую можно решить как квадратное уравнение. Подставим $y = 7 - x$ в уравнение $xy = 10$ :

x(7 - x) = 10.

Раскроем скобки:

7x - x^2 = 10.

Переносим все на одну сторону:

x^2 - 7x + 10 = 0.

Решим это квадратное уравнение по формуле:

x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}.

Таким образом, $x$ может быть:

x = \frac{7 + 3}{2} = 5 \quad \text{или} \quad x = \frac{7 - 3}{2} = 2.

Теперь найдём $y$ :

Таким образом, для первого случая получаем пару решений $(x, y) = (5, 2)$ или $(x, y) = (2, 5)$ .

Второй случай: $x + y = -7$ .

Теперь у нас есть система:

x + y = -7,

xy = 10.

Подставим $y = -7 - x$ в уравнение $xy = 10$ :

x(-7 - x) = 10,

раскроем скобки:

-7x - x^2 = 10,

переносим все на одну сторону:

x^2 + 7x + 10 = 0.

Решим это квадратное уравнение по формуле:

x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 \pm 3}{2}.

Последние заданные вопросы в категории Математика

Ответы на вопрос