найдите наименьшее значение функции y = x² + 441/x на отрезке [2; 32]

Для нахождения наименьшего значения функции $y = x^2 + \frac{441}{x}$ на отрезке $[2; 32]$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдём производную функции.

Для этого воспользуемся стандартными правилами дифференцирования.

Производная функции:

2. Найдём критические точки.

Критические точки получаются из условия $y' = 0$. То есть:

Переносим второй член на другую сторону:

Умножаем обе стороны на $x^2$:

Решаем для $x$:

Таким образом, критическая точка $x \approx 6.06$.

3. Проверим, лежит ли эта точка в пределах отрезка $[2; 32]$.

Очевидно, что $6.06$ находится в пределах этого отрезка, поэтому критическая точка допустима.

4. Исследуем значения функции на концах отрезка и в критической точке.

Теперь нужно посчитать значения функции $y$ на концах отрезка и в найденной критической точке.

• Когда $x = 2$:

• Когда $x = 32$:

• Когда $x \approx 6.06$:

5. Наименьшее значение функции.

Сравнив все найденные значения функции:

• $y(2) = 224.5$

• $y(32) \approx 1037.78$

• $y(6.06) \approx 109.46$

Наименьшее значение функции на отрезке $[2; 32]$ равно $\approx 109.46$, и оно достигается в точке $x \approx 6.06$.