Прямоугольный треугольник с катетами 30 см и 40 см вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь

Ответы на вопрос

Отвечает Грицук Митя.

Рассмотрим, что произойдёт, если прямоугольный треугольник с катетами 30 см и 40 см вращается вокруг своей гипотенузы.

При вращении треугольника вокруг гипотенузы образуется торообразное тело, но в данном случае оно имеет особую форму — это двойной конус, или по-другому — вращательное тело, состоящее из двух усечённых конусов, которые соединяются основаниями и образованы вращением катетов.

Шаг 1: Найдём гипотенузу

Прямоугольный треугольник с катетами 30 см и 40 см.

По теореме Пифагора:

c = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \, \text{см}

Шаг 2: Определим, какие тела образуются при вращении

Если треугольник вращается вокруг гипотенузы, получается тело, ограниченное поверхностями двух конусов, которые описываются вращением каждого катета вокруг гипотенузы.

Для вычисления площади поверхности этого тела, нужно:

Найти высоты, опущенные из концов катетов на гипотенузу (они станут радиусами оснований конусов).
Найти образующие конусов.
Посчитать площадь боковой поверхности каждого конуса.

Шаг 3: Найдём расстояния от концов катетов до гипотенузы

Это задача на нахождение высоты к гипотенузе, если известны катеты.

Если прямоугольный треугольник вращается вокруг гипотенузы, мы ищем радиусы вращения вершин треугольника (они являются высотами, опущенными на гипотенузу из концов катетов).

Для этого используется формула для расстояния от точки до прямой (в данном случае – высоты к гипотенузе):

Площадь треугольника:

S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600 \, \text{см}^2

Высота $h$ к гипотенузе:

h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 600}{50} = \frac{1200}{50} = 24 \, \text{см}

Это высота к гипотенузе из прямого угла — расстояние от вершины прямого угла до гипотенузы. Эта высота – общая для двух получившихся конусов.

Теперь найдём проекции катетов на гипотенузу, чтобы определить, на каком расстоянии от концов гипотенузы они находятся — это будут длины образующих (наклонных боковых рёбер конусов).

Шаг 4: Найдём радиусы оснований конусов

Из подобия треугольников:

Рассмотрим отношение:

\frac{r_1}{30} = \frac{r_2}{40} = \frac{h}{50} = \frac{24}{50}

Тогда:

r_1 = \frac{24}{50} \cdot 30 = \frac{720}{50} = 14.4 \, \text{см}

r_2 = \frac{24}{50} \cdot 40 = \frac{960}{50} = 19.2 \, \text{см}

Шаг 5: Найдём образующие (длины боковых рёбер)

Это длины катетов, они и являются образующими соответствующих конусов:

Первый конус: радиус 14.4 см, образующая 30 см.
Второй конус: радиус 19.2 см, образующая 40 см.

Шаг 6: Площадь поверхности тела

Так как тело состоит из двух конусов, соединившихся основаниями, нас интересует только боковая поверхность (так как основания склеены и не учитываются).

Площадь боковой поверхности конуса:

S = \pi r l

Где:

$r$ — радиус основания
$l$ — образующая

Считаем отдельно:

Первый конус:
$S_1 = \pi \cdot 14.4 \cdot 30 = 432\pi$
Второй конус:
$S_2 = \pi \cdot 19.2 \cdot 40 = 768\pi$

Суммарная площадь поверхности:

S = S_1 + S_2 = 432\pi + 768\pi = 1200\pi \, \text{см}^2

Ответ:

\boxed{1200\pi \text{ см}^2}

Или, если нужно в десятичном виде:

\approx 3769.91 \, \text{см}^2

Последние заданные вопросы в категории Математика

Прямоугольный треугольник с катетами 30 см и 40 см вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении.