Из двух городов, расстояние между которыми равно 300 км, выехали одновременно навстречу друг другу легковая и грузовая машины и встретились через 2,5 ч. Найти скорость каждой машины, если грузовик затратил на весь путь на 3 ч 45 мин больше, чем легковая машина.

Для решения задачи обозначим скорость легковой машины за $v_1$, а скорость грузовика за $v_2$. Рассмотрим два уравнения, которые вытекают из условий задачи.

1. Расстояние между двумя городами равно 300 км. Легковая и грузовая машины выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через 2,5 часа. Это значит, что за 2,5 часа они вместе проехали 300 км:

   $$v_1 \cdot 2.5 + v_2 \cdot 2.5 = 300$$

   Упростим это уравнение:

   $$2.5(v_1 + v_2) = 300$$

   Разделим обе части на 2.5:

   $$v_1 + v_2 = 120 \quad \text{(уравнение 1)}$$

2. Грузовик затратил на весь путь на 3 часа 45 минут больше, чем легковая машина. 3 часа 45 минут — это 3,75 часа. Пусть время, которое легковая машина тратит на путь, равно $t_1$, а время, которое тратит грузовик, равно $t_2$. Из условия задачи:

   $$t_2 = t_1 + 3.75$$

   Так как время на путь $t_1$ для легковой машины можно выразить через её скорость:

   $$t_1 = \frac{300}{v_1}$$

   а время для грузовика через его скорость:

   $$t_2 = \frac{300}{v_2}$$

   Подставляем это в уравнение $t_2 = t_1 + 3.75$:

   $$\frac{300}{v_2} = \frac{300}{v_1} + 3.75$$

   Умножим обе части на $v_1 v_2$, чтобы избавиться от дробей:

   $$300v_1 = 300v_2 + 3.75v_1 v_2$$

   Упростим это:

   $$300v_1 - 300v_2 = 3.75v_1 v_2$$

   Разделим обе части на 3.75:

   $$80v_1 - 80v_2 = v_1 v_2$$

   Это уравнение получаем в результате второго условия.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $v_1 + v_2 = 120$

2. $80v_1 - 80v_2 = v_1 v_2$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $v_2$:

Подставим это в второе уравнение:

Упростим:

Переносим все в одну сторону: