Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 4, и на 9, даёт в остатке 1 и цифры в записи которого нечетны. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.

Для того чтобы найти трёхзначное натуральное число, которое при делении на 4 и на 9 даёт остаток 1 и при этом все цифры в числе нечетные, давайте разберемся шаг за шагом.

Условия задачи:

1. Число при делении на 4 даёт остаток 1.
2. Число при делении на 9 даёт остаток 1.
3. Все цифры числа нечетные.

Шаг 1: Выражение условий через остатки

Число, которое при делении на 4 даёт остаток 1, можно записать как:

Число, которое при делении на 9 даёт остаток 1, можно записать как:

Таким образом, наше число должно удовлетворять системе двух сравнений:

Шаг 2: Разрешение системы сравнений

Поскольку 4 и 9 взаимно просты, то можно применить китайскую теорему о остатках. Из системы видно, что число $x$ должно быть таким, чтобы при делении на 4 и на 9 давало одинаковый остаток 1. Это означает, что $x$ может быть записано как:

где $k$ — целое число, а 36 — наименьшее общее кратное чисел 4 и 9 (4 и 9 не имеют общих делителей, поэтому их НОК — 36).

Шаг 3: Проверка, что $x$ — трёхзначное число

Теперь, чтобы найти трёхзначное число, подставим разные значения $k$:

• Для $k = 0$: $x = 1 + 36(0) = 1$ (не трёхзначное).
• Для $k = 1$: $x = 1 + 36(1) = 37$ (не трёхзначное).
• Для $k = 2$: $x = 1 + 36(2) = 73$ (не трёхзначное).
• Для $k = 3$: $x = 1 + 36(3) = 109$ (трёхзначное).
• Для $k = 4$: $x = 1 + 36(4) = 145$ (трёхзначное).
• Для $k = 5$: $x = 1 + 36(5) = 181$ (трёхзначное).
• Для $k = 6$: $x = 1 + 36(6) = 217$ (трёхзначное).
• Для $k = 7$: $x = 1 + 36(7) = 253$ (трёхзначное).
• Для $k = 8$: $x = 1 + 36(8) = 289$ (трёхзначное).
• Для $k = 9$: $x = 1 + 36(9) = 325$ (трёхзначное).
• Для $k = 10$: $x = 1 + 36(10) = 361$ (трёхзначное).
• Для $k = 11$: $x = 1 + 36(11) = 397$ (трёхзначное).
• Для $k = 12$: $x = 1 + 36(12) = 433$ (трёхзначное).
• Для $k = 13$: $x = 1 + 36(13) = 469$ (трёхзначное).
• Для $k = 14$: $x = 1 + 36(14) = 505$ (трёхзначное).
• Для $k = 15$: $x = 1 + 36(15) = 541$ (трёхзначное).
• Для $k = 16$: $x = 1 + 36(16) = 577$ (трёхзначное).
• Для $k = 17$: $x = 1 + 36(17) = 613$ (трёхзначное).
• Для $k = 18$: $x = 1 + 36(18) = 649$ (трёхзначное).
• Для $k = 19$: $x = 1 + 36(19) = 685$ (трёхзначное).
• Для $k = 20$: $x = 1 + 36(20) = 721$ (трёхзначное).
• Для $k = 21$: $x = 1 + 36(21) = 757$ (трёхзначное).
• Для $k = 22$: $x = 1 + 36(22) = 793$ (трёхзначное).
• Для $k = 23$: $x = 1 + 36(23) = 829$ (трёхзначное).
• Для $k = 24$: $x = 1 + 36(24) = 865$ (трёхзначное).
• Для $k = 25$