Найти производную функции f(x) = 1/x + √x

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$, нужно применить правила дифференцирования для каждой части функции по отдельности.

1. Производная от $\frac{1}{x}$:
   Это выражение можно переписать как $x^{-1}$. Используем правило дифференцирования для степени: $\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$. Получаем:

   $$\frac{d}{dx} \left( x^{-1} \right) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$

2. Производная от $\sqrt{x}$:
   Мы знаем, что $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Используем то же правило дифференцирования для степени:

   $$\frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Теперь, сложив эти производные, получаем полную производную функции:

Это и есть искомая производная функции $f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{x}$.