log₃(3ˣ - 8) = 2 - x. Ответ должен быть равен 2. Как решается?

Чтобы решить уравнение $\log_3(3^x - 8) = 2 - x$, давайте разобьем его шаг за шагом.

1. Начнем с того, что у нас есть логарифм с основанием 3. Мы можем преобразовать логарифм в экспоненциальную форму. Согласно определению логарифма:

Применяя это к нашему уравнению:

2. Теперь у нас есть уравнение с экспонентами. Чтобы упростить его, нужно сделать замену переменной. Обозначим $y = 3^x$. Таким образом, у нас получится:

Теперь уравнение будет выглядеть так:

3. Умножим обе части уравнения на $y$ (предполагая, что $y \neq 0$):

4. Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

5. Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Корни квадратного уравнения:

Получаем два возможных значения для $y$:

6. Поскольку $y = 3^x$, а $3^x$ всегда положительно, то $y = -1$ не подходит. Оставляем только $y = 9$.

7. Теперь возвращаемся к исходной переменной $x$:

Из этого мы получаем:

Ответ: $x = 2$.