Докажите тождество sin2a = (sina + cosa)^2 - 1.

Для доказательства тождества $\sin(2a) = (\sin(a) + \cos(a))^2 - 1$ начнем с левой и правой частей по отдельности.

1. Раскроем правую часть:

   $$(\sin(a) + \cos(a))^2 - 1 = \sin^2(a) + 2\sin(a)\cos(a) + \cos^2(a) - 1$$

   По известному тождеству $\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1$, можно заменить $\sin^2(a) + \cos^2(a)$ на 1:

   $$1 + 2\sin(a)\cos(a) - 1 = 2\sin(a)\cos(a)$$

   Таким образом, правая часть тождества упрощается до:

   $$2\sin(a)\cos(a)$$

2. Теперь посмотрим на левую часть тождества — это $\sin(2a)$. По формуле для удвоенного угла:

   $$\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$$

3. Сравнив обе части, видим, что они равны:

   $$\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a) = (\sin(a) + \cos(a))^2 - 1$$

Таким образом, тождество доказано.