Решите уравнение с подробным описанием: sin(x/2) * sin(3x/2) = 1/2

Решим через формулу произведения синусов.

1. Используем тождество
   $\sin A\sin B=\tfrac12\big(\cos(A-B)-\cos(A+B)\big)$.
   Берём $A=\tfrac x2,\; B=\tfrac{3x}2$. Тогда

По условию это равно $\tfrac12$, значит

2. Выразим $\cos2x=2\cos^2x-1$:

Вынесем $\cos x$:

3. Отсюда два случая:

• $\cos x=0 \;\Rightarrow\; x=\dfrac\pi2+\pi k,\; k\in\mathbb Z$;

• $1-2\cos x=0 \;\Rightarrow\; \cos x=\dfrac12 \;\Rightarrow\; x=\pm\dfrac\pi3+2\pi k,\; k\in\mathbb Z$.

Проверка (для примера):
при $x=\dfrac\pi2$: $\sin\dfrac\pi4\cdot\sin\dfrac{3\pi}4=\dfrac{\sqrt2}2\cdot\dfrac{\sqrt2}2=\dfrac12$;
при $x=\dfrac\pi3$: $\sin\dfrac\pi6\cdot\sin\dfrac\pi2=\dfrac12\cdot1=\dfrac12$.

Ответ: