2. Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.

Для нахождения площади сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, нам нужно учитывать, что сечение цилиндра будет представлять собой прямоугольник. Рассмотрим, как решается эта задача.

1. Дано:

   • Высота цилиндра (h) = 8 см

   • Радиус основания цилиндра (r) = 5 см

   • Расстояние между плоскостью сечения и осью цилиндра (d) = 3 см

2. Анализ задачи:
   Плоскость сечения будет параллельна оси цилиндра, а значит, она будет пересекать цилиндр вдоль его высоты. При этом расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения будет равно 3 см. Это означает, что плоскость будет пересекать цилиндр на уровне, где расстояние от оси цилиндра до сечения составляет 3 см.

3. Форма сечения:
   Плоскость, пересекающая цилиндр, будет перпендикулярна боковой поверхности, и сечение будет прямоугольным. Ширина прямоугольника будет равна расстоянию от одного края основания цилиндра до другого, то есть диаметру основания, а высота прямоугольного сечения будет зависеть от того, на какой высоте происходит сечение.

4. Размеры сечения:
   Радиус цилиндра составляет 5 см, а расстояние между осью цилиндра и плоскостью сечения — 3 см. Это означает, что плоскость проходит через цилиндр на расстоянии 3 см от оси. Площадь сечения будет зависеть от того, какая часть окружности цилиндра проходит через эту плоскость.

   Так как расстояние от оси до плоскости сечения 3 см, то диаметр сечения будет равен $2 \times \sqrt{r^2 - d^2} = 2 \times \sqrt{5^2 - 3^2} = 2 \times \sqrt{25 - 9} = 2 \times \sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$ см.

5. Площадь сечения:
   Площадь сечения будет равна площади прямоугольника, где одна сторона будет равна высоте цилиндра (8 см), а другая — диаметру сечения (8 см). Таким образом, площадь сечения равна:

   $$S = 8 \, \text{см} \times 8 \, \text{см} = 64 \, \text{см}^2$$

Ответ: Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, равна 64 см².