Решите диофантово уравнение 2x + 5y = 11.

Чтобы решить диофантово уравнение $2x + 5y = 11$, нужно найти целые решения для $x$ и $y$. Для этого воспользуемся методом нахождения общего решения линейного диофантова уравнения.

Шаг 1: Проверка существования решений

Диофантово уравнение $2x + 5y = 11$ имеет целые решения, если наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов 2 и 5 делит правую часть уравнения (11).

Поскольку НОД(2, 5) = 1, и 1 делит 11, то решения уравнения существуют.

Шаг 2: Нахождение частного решения

Для того чтобы решить уравнение $2x + 5y = 11$, применим метод подбора или расширенный алгоритм Евклида.

Найдем одно частное решение. Попробуем подставить различные значения для $y$ и решать уравнение относительно $x$:

1. Если $y = 1$, то уравнение становится:

   $$2x + 5(1) = 11 \implies 2x + 5 = 11 \implies 2x = 6 \implies x = 3.$$

   Таким образом, одно частное решение — это $x = 3$ и $y = 1$.

Шаг 3: Общая форма решения

Общее решение линейного диофантова уравнения можно записать как:

где $x_0 = 3$, $y_0 = 1$ — это частное решение, а $t$ — произвольное целое число.

Ответ:

Общее решение уравнения $2x + 5y = 11$ имеет вид:

где $t$ — произвольное целое число.