В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC=5, sin A = 0,2. Найдите BH.

В данном задаче у нас есть прямоугольный треугольник ABC с углом C, равным 90°. Также известно, что CH — высота, BC = 5, и sin A = 0,2. Задача — найти длину отрезка BH.

Для решения задачи используем несколько шагов:

1. Параметры треугольника и синус угла A:
   В прямоугольном треугольнике с углом C = 90° мы знаем, что синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

   $$\sin A = \frac{BC}{AB}$$

   Подставляем известное значение синуса:

   $$0,2 = \frac{5}{AB}$$

   Отсюда находим гипотенузу AB:

   $$AB = \frac{5}{0,2} = 25$$

2. Площадь треугольника через два способа:
   Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами. Первый способ — через катеты, второй — через высоту.

   Площадь через катеты:

   $$S = \frac{1}{2} \times BC \times AC$$

   Площадь через гипотенузу и высоту:

   $$S = \frac{1}{2} \times AB \times CH$$

   Приравняем эти два выражения для площади:

   $$\frac{1}{2} \times BC \times AC = \frac{1}{2} \times AB \times CH$$

   Упростим:

   $$BC \times AC = AB \times CH$$

   Подставим известные значения:

   $$5 \times AC = 25 \times CH$$ $$AC = 5 \times CH$$

3. Используем теорему Пифагора:
   В треугольнике ABC по теореме Пифагора:

   $$AB^2 = BC^2 + AC^2$$

   Подставим известные значения:

   $$25^2 = 5^2 + AC^2$$ $$625 = 25 + AC^2$$ $$AC^2 = 600$$ $$AC = \sqrt{600} \approx 24,49$$

4. Нахождение BH:
   Теперь мы можем найти BH. Из предыдущего уравнения $AC = 5 \times CH$ находим:

   $$CH = \frac{AC}{5} = \frac{24,49}{5} \approx 4,90$$

   Теперь, используя теорему Пифагора в треугольнике BHC, где BH — это одна из сторон, мы можем найти BH:

   $$BH = \sqrt{BC^2 - CH^2} = \sqrt{5^2 - 4,90^2}$$ $$BH = \sqrt{25 - 24,01} = \sqrt{0,99} \approx 0,995$$

Ответ: $BH \approx 0,995$.