1. Решить уравнение: 2cos²x - sinx - 1 = 0. 2. Докажите, что функция у = (2х + 5)¹⁰ удовлетворяет соотношению 8000у(2х + 5)¹⁷ - (у')³ = 0. 3. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой каждый член в 6 раз больше суммы всех её последующих членов.

1. Решим уравнение $2\cos^2x - \sin x - 1 = 0$.

Для решения уравнения будем использовать тригонометрические тождества. Мы знаем, что $\cos^2x = 1 - \sin^2x$. Подставим это в уравнение:

Упростим выражение:

Теперь переместим все в одну сторону:

Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Решим его с помощью формулы для решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

Здесь $a = 2$, $b = 1$, $c = -1$. Подставляем значения:

Таким образом, получаем два возможных значения для $\sin x$:

или

Теперь найдём значения $x$ для каждого из случаев.

1. Если $\sin x = \frac{1}{2}$, то $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

2. Если $\sin x = -1$, то $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$, $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$.

2. Докажем, что функция $y = (2x + 5)^{10}$ удовлетворяет соотношению $8000y(2x + 5)^{17} - (y')^3 = 0$