Катер прошел 80 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.

Для того чтобы найти собственную скорость катера, давайте обозначим её через $v$ км/ч.

1. Путь по течению:
   Когда катер идет по течению, его скорость увеличивается на скорость течения реки, то есть его скорость становится $v + 2$ км/ч (где 2 км/ч — скорость течения). Расстояние, которое он прошел по течению, равно 80 км. Время, затраченное на этот путь, можно выразить как:

   $$t_1 = \frac{80}{v + 2}$$

2. Путь против течения:
   Когда катер идет против течения, его скорость уменьшается на скорость течения реки, то есть его скорость становится $v - 2$ км/ч. Расстояние, которое он прошел против течения, также 80 км. Время, затраченное на этот путь, будет равно:

   $$t_2 = \frac{80}{v - 2}$$

3. Общее время пути:
   Общие затраты времени на весь путь составляют 9 часов, следовательно:

   $$t_1 + t_2 = 9$$

   Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

   $$\frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2} = 9$$

4. Решаем уравнение:
   Чтобы решить это уравнение, сначала найдем общий знаменатель:

   $$\frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2} = \frac{80(v - 2) + 80(v + 2)}{(v + 2)(v - 2)}$$

   Упростим числитель:

   $$80(v - 2) + 80(v + 2) = 80v - 160 + 80v + 160 = 160v$$

   Теперь у нас получается:

   $$\frac{160v}{(v + 2)(v - 2)} = 9$$

   Замечаем, что $(v + 2)(v - 2) = v^2 - 4$, и уравнение принимает вид:

   $$\frac{160v}{v^2 - 4} = 9$$

   Умножим обе части уравнения на $v^2 - 4$:

   $$160v = 9(v^2 - 4)$$

   Раскроем скобки:

   $$160v = 9v^2 - 36$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$9v^2 - 160v - 36 = 0$$

5. Решаем квадратное уравнение:
   Используем формулу для решения квадратного уравнения:

   $$v = \frac{-(-160) \pm \sqrt{(-160)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36)}}{2 \cdot 9}$$

   Сначала вычислим дискриминант:

   $$D = (-160)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 25600 + 1296 = 26896$$

   Теперь находим корни:

   $$v = \frac{160 \pm \sqrt{26896}}{18}$$

   Приближенно:

   $$\sqrt{26896} \approx 164$$

   Тогда:

   $$v = \frac{160 + 164}{18} \approx \frac{324}{18} = 18$$

6. Ответ:
   Собственная скорость катера равна 18 км/ч.