Чему равно число π?

Коротко: π — это константа, равная отношению длины окружности к её диаметру. Точное значение конечной десятичной записью выразить нельзя: π — иррациональное и трансцендентное число, его десятичная запись бесконечна и непериодична.

Первые цифры:
3,14159265358979323846264338327950288419716939937510…

Полезные представления (точные равенства):

• π = 4·arctan(1) = ∫₀¹ 4/(1+x²) dx = 2·∫₀^∞ 1/(1+x²) dx

• Ряд Лейбница: π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + …

• Формула Мачина: π = 16·arctan(1/5) − 4·arctan(1/239)

• Произведение Уоллиса: π/2 = ∏ₙ₌₁^∞ (4n²)/(4n²−1)

Хорошие приближения:

• 3,14 — грубо, для бытовых расчётов.

• 22/7 ≈ 3,142857 (ошибка ≈ 0,001264; ~0,040%).

• 333/106 ≈ 3,141509 (ошибка ≈ 8,32·10⁻⁵; ~0,00265%).

• 355/113 ≈ 3,141592920… (ошибка ≈ 2,67·10⁻⁷; ~0,00000849%).

• 103993/33102 ≈ 3,141592653012… (ошибка ≈ 5,78·10⁻¹⁰).

Свойства:

• Не является ни рациональным, ни корнем какого-либо ненулевого многочлена с целыми коэффициентами (то есть трансцендентно).

• Связывает окружности и углы: угол в 180° равен π радианам, полный круг — 2π радиан.

• Площадь круга радиуса r равна πr²; длина окружности — 2πr.

Итого: «чему равно π?» — в строгом смысле это фиксированная математическая константа, определяемая, например, как отношение длины окружности к диаметру, а численно она начинается с 3,1415926535… и не имеет конечной точной десятичной записи.