При каких значениях \( a \) уравнение \( ах^2 - 4х + 3а + 1 = 0 \) имеет один корень?

Чтобы найти значения $a$, при которых уравнение $ах^2 - 4х + 3а + 1 = 0$ имеет один корень, нужно рассмотреть его как квадратное уравнение относительно $x$. Уравнение имеет вид:

где $a$ — коэффициент при $x^2$, $b$ — коэффициент при $x$, и $c$ — свободный член.

Для уравнения с одним корнем (или с повторным корнем) дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ определяется по формуле:

В нашем уравнении $ах^2 - 4x + 3a + 1 = 0$, коэффициенты следующие:

• $a = a$

• $b = -4$

• $c = 3a + 1$

Теперь подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

Посчитаем:

Чтобы у уравнения был один корень, дискриминант должен быть равен нулю:

Это квадратное уравнение относительно $a$. Приведем его к стандартному виду:

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ дискриминант равен:

Здесь $A = 12$, $B = 4$, $C = -16$:

Корни уравнения $12a^2 + 4a - 16 = 0$ найдём по формуле:

Подставим значения:

Решения:

1. $a = \frac{-4 + 28}{24} = \frac{24}{24} = 1$

2. $a = \frac{-4 - 28}{24} = \frac{-32}{24} = -\frac{4}{3}$

Таким образом, уравнение $ах^2 - 4x + 3a + 1 = 0$ имеет один корень при значениях $a = 1$ или $a = -\frac{4}{3}$.