Найдите наименьшее значение функции \( y = (x - 18)e^{x - 17} \) на отрезке \([16; 18]\).

Для того чтобы найти наименьшее значение функции $y = (x - 18)e^{x - 17}$ на отрезке $[16; 18]$, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции.

Функция $y = (x - 18)e^{x - 17}$ состоит из двух множителей: линейной функции $(x - 18)$ и экспоненциальной функции $e^{x - 17}$. Используем правило произведения для нахождения производной.

Пусть $u(x) = x - 18$ и $v(x) = e^{x - 17}$, тогда производная функции $y(x)$ будет:

где:

• $u'(x) = 1$,

• $v'(x) = e^{x - 17}$, так как производная экспоненты — это сама экспонента.

Подставляем в формулу:

2. Найдем критические точки.

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

Так как $e^{x - 17}$ никогда не равно нулю (это экспоненциальная функция), уравнение сводится к:

3. Проверим значения функции на отрезке $[16; 18]$.

Нам нужно найти значения функции на отрезке $[16; 18]$ в точках:

• $x = 16$,

• $x = 17$,

• $x = 18$.

• Для $x = 16$:

• Для $x = 17$:

• Для $x = 18$:

4. Сравним значения функции.

Мы нашли следующие значения функции:

• $y(16) = -\frac{2}{e} \approx -0.7357$,

• $y(17) = -1$,

• $y(18) = 0$.

Наименьшее значение функции на отрезке $[16; 18]$ принимает в точке $x = 17$, и оно равно $-1$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[16; 18]$ равно $-1$.