Исследование функции $y=9x-x^3$

Область определения: $D=\mathbb{R}$.

Чётность: $f(-x)=9(-x)-(-x)^3=-9x+x^3=-(9x-x^3)=-f(x)$ ⇒ функция нечётная (симметрия графика относительно начала координат).

Нули (пересечения с осью $Ox$):
$9x-x^3=x(9-x^2)=0 \Rightarrow x=-3,\,0,\,3$.
Точки: $(-3,0),\,(0,0),\,(3,0)$.

Знак функции:

• $x\in(-\infty,-3)$: $f(x)>0$;

• $x\in(-3,0)$: $f(x)<0$;

• $x\in(0,3)$: $f(x)>0$;

• $x\in(3,\infty)$: $f(x)<0$.

Производная: $f'(x)=9-3x^2=-3(x^2-3)$.
Критические точки: $f'(x)=0 \Rightarrow x=\pm\sqrt{3}$.

Возрастание/убывание:

• Убывает на $(-\infty,-\sqrt{3})$ и $(\sqrt{3},\infty)$ (там $f'(x)<0$);

• Возрастает на $(-\sqrt{3},\sqrt{3})$ (там $f'(x)>0$).

Экстремумы:

• При $x=-\sqrt{3}$: $f''(-\sqrt{3})= -6(-\sqrt{3})=6\sqrt{3}>0$ ⇒ локальный минимум,
  $f(-\sqrt{3})=9(-\sqrt{3})-(-\sqrt{3})^3=-6\sqrt{3}$.

• При $x=\sqrt{3}$: $f''(\sqrt{3})= -6\sqrt{3}<0$ ⇒ локальный максимум,
  $f(\sqrt{3})=9\sqrt{3}-(\sqrt{3})^3=6\sqrt{3}$